تكامل \( \tan^3(x) \)

الاشتقاق خطوة بخطوة باستخدام المتطابقات المثلثية والتعويض، والصيغة والمراجع

الاشتقاق والتقييم

حساب التكامل:

\[ \int \tan^3(x) \, dx \]

اكتب الاقتران المراد تكامله \( \tan^3(x) \) على شكل حاصل ضرب \( \tan x \tan^2 x \):

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \tan^2 x \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) لكتابة التكامل على النحو التالي:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx \]

فك تعبير المتكامل وأعد كتابة التكامل على شكل فرق بين تكاملين:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \, dx \]

استخدم التكامل بالتعويض في \( \displaystyle \int \tan x \sec^2 x \, dx \): لتكن \( u = \tan x \)، والتي تعطي \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) أو \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \). بالتعويض عن ذلك ينتج:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du - \int \tan x \, dx \]

بسيط التعبير:

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \, du - \int \tan x \, dx \]

قم بالتقييم باستخدام صيغ التكامل القياسية \( \displaystyle \int u \, du = \dfrac{1}{2} u^2 \) والتكامل الشائع \( \displaystyle \int \tan x \, dx = \ln|\sec x| \):

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \dfrac{1}{2} u^2 - \ln|\sec x| + c \]

حيث \( c \) هو ثابت التكامل.

عوض مرة أخرى بـ \( u = \tan x \) للحصول على الإجابة النهائية:

صيغة التكامل لـ \( \tan^3(x) \):
\[ \int \tan^3(x) \, dx = \dfrac{1}{2} \tan^2 x - \ln|\sec x| + c \]

المزيد من المراجع والروابط

  1. جدول صيغ التكامل
  2. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  3. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  4. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8